Polinomio de Taylor / Polinomio de MacLaurin ($x_o=0$)
$$ P_n(x) = \sum_{i=0}^{n}{\dfrac{(x-x_0)^i}{i!}\,\dfrac{d^if(x_0)}{dx^i}} $$ $$ P_n(x) = f(x_0) + (x-x_0)\,\dfrac{df(x_0)}{dx} + \dfrac{(x-x_0)^2}{2!}\,\dfrac{d^2f(x_0)}{dx^2} + ... \dfrac{(x-x_0)^n}{n!}\,\dfrac{d^nf(x_0)}{dx^n} $$ $$ F(x,y) = f(x,y)_0 + (x-x_0)\, \left. \dfrac{F(x,y)}{dx} \right|_{(x,y)_0} + (y-y_0)\, \left. \dfrac{F(x,y)}{dy} \right|_{(x,y)_0} $$Se lo lleva a la forma de la ecuacion diferencial lienal de primer orden
$$x y' + y = 3x\sqrt{y}$$ $$u = y^{1-1/2} = y^{1/2}$$ $$u^2 = y \qquad \rightarrow \qquad y' = 2u\,u'$$ $$2xu\,u' + u^2 = 3xu$$ $$u' + \frac{1}{2x}u = \frac{3}{2} \qquad EDL$$Si tiene un raíz compleja es
$$r=a+b\,i$$Se usa la formula de Euler
$$e^{i\omega}=\cos{\omega}+i\,\sin{\omega}$$Nos queda la solución genreal de la siguiente forma
$$y=e^{ax}\,(C_1\,\cos{bx}+C_2\,\sin{bx})$$Se trabaja con la EDO
$$R' = \alpha_1\,R - \beta_1\,R\,F$$ $$F' = -\alpha_2\,F + \beta_2\,R\,F $$ $$\mathrm{det} (\lambda I-A) = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \alpha_1 & -\beta_1 \\ -\alpha_2 & \beta_2 \end{bmatrix}$$ $$\mathrm{det} (\lambda I-A) = \begin{bmatrix} \lambda-\alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \lambda-\beta_2 \end{bmatrix}$$ $$ \mathrm{det} (\lambda I-A) = (\lambda-\alpha_1)\,(\lambda-\beta_2)-(\alpha_2)\,(\beta_1)$$ $$ \mathrm{det} (\lambda I-A) = \lambda^2 - (\alpha_1+\beta_2)\,\lambda+\alpha_1\,\beta_2-\alpha_2\,\beta_1$$ $$ \mathrm{det} (\lambda I-A) = 0$$ $$ \lambda = \dfrac{\alpha_1+\beta_2 \pm \sqrt{(\alpha_1+\beta_2)^2-4\,(\alpha_1\,\beta_2-\alpha_2\,\beta_1)}}{2}$$ $$ \lambda_1= 2.6758$$ $$ \lambda_2 = 0.2242$$Autovectores
$$(\lambda I-A)V_1=0$$ $$\begin{bmatrix} \lambda-\alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \lambda-\beta_2 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ Para $\lambda_1$ $$\begin{bmatrix} \lambda-\alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \lambda-\beta_2 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0.6758 & 1.2 \\ 1 & 1.7758 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$Se realiza lo respectivos reemplazos.
$$ \left \{ \begin{array}{ll} 0.6758\,v_1+1.2\,v_2=0\\ v_1+1.7758\,v_2=0\\ \end{array}\right.$$ $$ \left \{ \begin{array}{ll} v_1+1.7758\,v_2=0\\ v_1+1.7758\,v_2=0\\ \end{array}\right.$$$$ \left \{ \begin{array}{ll} v_1=-1.7758\,v_2\\ v_1=-1.7758\,v_2\\ \end{array}\right.$$ Si $v_1=1 \qquad \rightarrow \qquad v_2=-0.5631$ $$V_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -0.5631 \end{bmatrix}$$ Para $\lambda_2$ $$\begin{bmatrix} \lambda-\alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \lambda-\beta_2 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} -1.7758 & 1.2 \\ 1 & -0.6758 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$Se realiza lo respectivos reemplazos.
$$ \left \{ \begin{array}{ll} -1.7758\,v_1+1.2\,v_2=0\\ v_1-0.6758\,v_2=0\\ \end{array}\right.$$ $$ \left \{ \begin{array}{ll} 1.7758\,v_1=1.2\,v_2\\ v_1=0.6758\,v_2\\ \end{array}\right.$$ Si $v_1=1 \qquad \rightarrow \qquad v_2=1.4797$ $$V_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1.4797 \end{bmatrix}$$Solución analítica
$$\begin{bmatrix} R \\ F \end{bmatrix}\,(t) = C_1\,\begin{bmatrix} 1 \\ -0.5631 \end{bmatrix}\,e^{2.6758\,t} + C_2\,\begin{bmatrix} 1 \\ 1.4797 \end{bmatrix}\,e^{0.2242\,t}$$Se reemplaza condiciones iniciales
$$\begin{bmatrix} 200 \\ 400 \end{bmatrix} = C_1\,\begin{bmatrix} 1 \\ -0.5631 \end{bmatrix} + C_2\,\begin{bmatrix} 1 \\ 1.4797 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -0.5631 & 1.4797 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 200 \\ 400 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -50.9399 \\ 250.9399 \end{bmatrix}$$La ecuación analítica queda entonces:
$$\begin{bmatrix} R \\ F \end{bmatrix}\,(t) = -50.9399\,\begin{bmatrix} 1 \\ -0.5631 \end{bmatrix}\,e^{2.6758\,t} + 250.9399\,\begin{bmatrix} 1 \\ 1.4797 \end{bmatrix}\,e^{0.2242\,t}$$Se deriva la primera ecuación
$$R'' = \alpha_1\,R' - \beta_1\, \left[ R\,F' + F\,R' \right] $$Reemplazamos la segunda ecuación del sistema
$$R'' = \alpha_1\,R' - \beta_1\, \left[ R\, \left( -\alpha_2\,F + \beta_2\,R\,F \right) + F\,R' \right] $$ $$R'' = \alpha_1\,R' - \beta_1\, \left( - R\,\alpha_2\,F + \beta_2\,R^2\,F + F\,R' \right) $$ $$R'' - \left( \alpha_1-\beta_1\,F \right)\,R' + \beta_1\,R\, \left( - \alpha_2\,F + \beta_2\,R\,F \right) = 0$$